Покажем, каким образом геометрическое истолкование понятия производной может способствовать правильному построению графиков функции с помощью дифференциального исчисления. (Мы проиллюстрируем тем самым реализацию внутрипредметных связей на уровне умений и навыков.)
1. График функции f (х) = х3 -2х2 + х должен быть таким, каким он изображен на рисунке 17. Учащиеся же представляют его в виде, изображенном на рисунке 18.
2. Функция f(х)=х2—х4 должна иметь график, изображенный на рисунке 23, а школьники строят ошибочно другие эскизы графика (рис. 19,20)
Эти ошибки происходят из-за того, что школьники при построении графика функции берут во внимание лишь характер монотонности функции и то, какой экстремум имеет функция в той или иной экстремальной точке, забывая при этом учесть, существует ли производная функции в этих точках, и если да, то каково ее значение.
Действительно, график функции f(x)=x2—x4 (см. рис. 20) построен так, что в точках с абсциссами х=— и х=
к кривой нельзя провести касательных, в то время как производная функции в этих точках существует (она равна нулю), а значит, проведение касательных возможно.
Следовательно, при построении графика функции школьники должны уметь сопоставить ход кривой в окрестностях экстремальных точек с тем, возможно ли проведение касательных или нет, причем в случае равенства нулю производной функции в этих точках касательные должны быть параллельны оси х.
3. Пусть нужно построить график функции f(x)=x4 — 2х2 — 3. Учащиеся оформляют проведенное исследование функции в виде таблицы.
До построения графика функции полезно сначала на координатной плоскости отметить точки (—1; —4), (0; —3), (1; —4) (рис. 22)
Учитывая, что касательные к графику функции в этих экстремальных точках параллельны оси х (это следует из равенства нулю угловых коэффициентов, так как f' (—1) = f'(0) = f'(1) = 0), проведем в этих точках прямые, параллельные оси х (рис. 22). Затем следует, согласно таблице, наметить ход кривой в точках (рис.23). Построение самого же графика функции явится завершающим этапом (рис. 24).
Внутрипонятийные связи играют ведущую роль в образовании понятий а межпонятийные связи — в его формировании.
Формирование понятия более длительный процесс, чем его образование. Образование понятия связано с изучением овладения его содержанием, а формирование понятия характеризуется еще и овладением его объемом.
Содержательной стороной межпонятийных связей являются логические отношения, которые устанавливаются между понятиями. Остановимся на их характеристике. Дадим каждому из видов отношений соответствующее определение.
К основным отношениям между понятиями следует отнести: отношение тождества, отношение несогласованности, отношение подчинения, отношение соподчинения, отношение частичного совпадения. Эти отношения определяют структуру понятийного аппарата курса математики.
Определение 1. Понятия А и В тождественны, если полностью совпадают их объемы (рис. 25)
Развитие творческого воображения
Вторым направлением формирования творческих способностей дошкольников развитие воображения. Воображение - это умение конструировать в уме из элементов жизненного опыта (впечатлений, представлений, знаний, переживаний) посредством новых их сочетаний к соотношений что-либо новое, выходящее за пред ...
Словесное рисование
Для повышения эмоционального уровня восприятия художественного текста дается также словесное рисование или иллюстрирование. Работу иллюстрированного характера в начальных классах следует начать не с создания детьми собственных графических и словесных рисунков, а с анализа иллюстраций, картин. Обуче ...
Навыки, умения, привычки и овладение мастерством в изобразительном
искусстве
"Чувствовать, знать и уметь — полное искусство", — говорил П. П. Чистяков. В этом высказывании очень точно отражены составные части изобразительного творчества художника — знания, эмоциональная сфера и умения. Рассмотрим более подробно такой важный компонент в изобразительной деятельности ...
Современное общество заинтересовано сохранить и улучшить здоровье человека. Эта проблема является одной из главных.