Методика реализации внутри- и межпонятийных связей

При изучении понятий окружность, отрезок схемы «родословной» могут быть изображены так, как на рисунках 13,14.

Сравнивая эти схемы «родословной», учащиеся замечают, что каждое из этих понятий сводится к таким, как точка, прямая, плоскость, расстояние. Тем самым школьники подводятся к мысли, что не все понятия могут быть определены, а следовательно, некоторые из них должны быть взяты в качестве основных, неопределяемых. В действующем школьном курсе геометрии к ним относятся точка, прямая, плоскость, лежать между, принадлежит.

При работе над этими понятиями опора на житейские прототипы не только не исключает (как это было в примере с понятием функции), а, наоборот, предполагает как можно более частое обращение к ним.

Если понятие определяется в школьном курсе математики, то чаще всего определение, дается сразу в завершенной, свернутой форме. Однако такой подход не требует от школьников самостоятельного выделения существенных признаков понятий, а это в итоге приводит к тому, что ученики не могут их сознательно использовать при решении практических задач. В подобных определениях для учащихся остаются скрытыми не только те действия, которые позволяют распознавать понятие в изменяющихся условиях, но и сам процедурный характер его получения.

Исключения составляют те случаи, когда для распознавания объекта в определении соответствующего понятия дан эталон, с которым этот объект может быть сравнен. Например, в такой форме дается определение линейной функции: «Функция, которую можно задать формулой вида y = kx+b, где k и b — некоторые числа, называется линейной».

Раскрытие внутрипонятийных связей должно идти через действия учащихся, при этом учитель должен организовать целесообразную деятельность школьников.

Недостаточная работа над внутрипонятийными связями приводит, как правило, к типичным ошибкам. Обратим внимание на некоторые из них:

1. Ошибки, связанные с неправильным указанием родового понятия.

Примеры:

а) Средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины его двух сторон. (Указано понятие, которое для определяемого не является родовым.)

б) Квадратом называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны между собой. (Указано не ближайшее родовое понятие.)

2. Ошибки, связанные с неправильным указанием видового отличия.

Примеры:

а) Прямоугольником называется четырехугольник, диагонали которого равны. (Указано видовое отличие, которое не определяет понятие прямоугольник однозначно.)

б) Угол, образованный двумя хордами, называется вписанным. (Не указан еще один существенный признак — вершина угла должна лежать на окружности.)

3. Ошибки, связанные с тавтологией.

Пример. Равными треугольниками называются такие треугольники, которые равны между собой.

4. Ошибки, связанные с пропуском слов.

Примеры:

а) Простое число — это натуральное число, которое делится само на себя и на единицу. (Пропущено слово «только».) б) Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. (Пропущено слово «две».)

Задача учителя — вести исчерпывающий разбор типичных ошибок, выявлять их природу и происхождение, ибо без этого нельзя обеспечить эффективные средства исправления и предупреждения ошибок в будущем.