Методика изучения комплексных чисел в общеобразовательной школе

Современное общество предъявляет выпускнику школы достаточно высокие требования. Эти требования касаются и общей культуры выпускника и научной культуры. В нашем случае мы будем говорить о математической культуре, а еще точнее – об алгебраической.

С первого класса и до окончания школы главным понятием алгебры является понятие числа. Изучение чисел идет последовательно – натуральные числа, дроби, целые числа, иррациональные, действительные. На этом общеобразовательная программа ставит точку, оставляя существенный пробел в знаниях ученика, так как естественным и логически правильным является формирование более общего понятия – понятия комплексного числа. И на это есть несколько причин. Во-первых, тема «Комплексные числа» традиционно входила в программы по математике старшей школы с углубленным изучением математики. Во-вторых, эта тема включена в государственный стандарт среднего (полного) образования по математике (профильный уровень). В частности, приведем выдержку из стандарта (раздел «Числовые и буквенные выражения»): «Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры». (Курсивом в тексте стандарта выделен материал, который подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников).

В-третьих, комплексные числа важны как область математики, в которой в полную силу работают знания и умения, полученные учащимися при обучении алгебре и тригонометрии.

И в-четвертых, переход от действительных чисел к комплексным является завершающим шагом во всем изучении понятия числа в школьном курсе математики.

К старшим классам ученики обладают уже достаточно зрелым математическим развитием: они в состоянии понимать и уважать нужды самой математической науки. Введение комплексных чисел представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий, логической простоты и завершенности. Понятие о числе выстраивается в единое стройное целое. Кратко говоря, множество комплексных чисел получается из множества действительных чисел «добавлением» только одного нового числа , для которого , и всех линейных комбинаций вида с действительными коэффициентами и . При «добавлении» единственного корня специального квадратного уравнения мы переходим к числам, в которых и любое квадратное, и любое кубическое, и любое уравнение -й степени имеет корни.

Вполне естественно также, что только в старших классах уместен полный, систематизирующий взгляд на развитие понятия числа.

Актуальность исследования определяется тем, что учащиеся должны иметь представление о множестве комплексных чисел, операций над ними, их различных приложений. В тоже время методических разработок по изучению комплексных чисел в школе в настоящее время сравнительно мало.

Объектом исследования является методика преподавания темы «Комплексные числа» в старших классах.

Целью исследования является разработка и практическая реализация тематического и поурочного планирований, контрольно–проверочных материалов по теме «Комплексные числа».

Научная проблема исследования состоит в разработке наиболее эффективных заданий для организации повторения и углубления знаний старшеклассников по теме «Комплексные числа».

Для решения проблемы были сформулированы следующие задачи:

1) проследить процесс становления темы «Комплексные числа» в Российской школе;

2) выявить психолого-педагогические и методические особенности преподавания темы «Комплексные числа» в старших классах;

3) разработать тематическое и поурочное планирование по теме «Комплексные числа» по учебнику А.Г.Мордковича, П.В.Семенова «Алгебра и начала математического анализа»;

4) разработать контрольно – проверочных тестовых заданий по теме «Комплексные числа» по учебнику А.Г.Мордковича, П.В.Семенова «Алгебра и начала математического анализа»;

5) произвести экспериментальную проверку разработанных материалов.

Основные методы исследования: изучение соответствующей психолого-педагогической, математической и методической литературы; анализ содержания школьных учебников по теме "Комплексные числа"; беседы с учителями и школьниками.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе математической подготовки учащихся в системе общего среднего образования.

• Элементы истории возникновения и становления теории комплексных чисел
• Исторический обзор изучения комплексных чисел в советской и российской общеобразовательной школе: программы, учебники
• Психолого-педагогические особенности подросткового возраста
• Психолого-педагогические особенности восприятия темы «Комплексные числа» в старших классах
• Обзор учебников по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов, содержащих тему «Комплексные числа»
• Методическое обеспечение изучения комплексных чисел в 10 классе общеобразовательной школы
• Экспериментальная проверка методических разработок