Обзор учебников по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов, содержащих тему «Комплексные числа»

И наконец, рассмотрим учебник, по которому почти век училась вся Россия. Это учебник А.П. Киселева.

В учебнике «Алгебра Ч.II» А.П. Киселева тема «Комплексные числа» представлена в 9 главе после тем «Логарифмы» и «Исследование уравнений». Тема «Комплексные числа» разбита на 6 пунктов: «Мнимые числа», «Комплексные числа», «Действия над комплексными числами», «Геометрическое изображение комплексного числа», «Тригонометрическая форма комплексного числа», «Действия с комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме». Изучение темы начинается с понятия мнимого числа, которое уже встречалось в учебнике ранее. В первом пункте вводится обозначение мнимых чисел и дано несколько примеров. В следующем пункте «Комплексные числа» вводится определение комплексного числа, сопряженные и противоположные комплексные числа. В пункте «Действия над комплексными числами» вводятся операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения квадратного корня из комплексного числа. Рассматривается несколько примеров для каждой операции. В третьем пункте «Геометрическое изображение комплексного числа» вводятся понятия вещественной оси и мнимой оси, приводится обоснование того, что комплексное число может быть геометрически представлено точкой плоскости. Здесь же вводится понятие модуля комплексного числа. В данном пункте содержится только теоретический материал. В пункте «Тригонометрическая форма комплексного числа» определяются понятия модуля и аргумента комплексного числа, рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа. В последнем пункте «Действия с комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме» рассматриваются операции умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня из комплексного числа.

В учебнике в виде сносок приводятся краткие исторические факты по изучаемому материалу. Материал представлен в большом объеме, приведено большое количество примеров и задач для самостоятельного решения.

Нами разработаны тематическое и поурочное планирования, контрольно-проверочные материалы к учебнику А.Г. Мордковича, П.В. Семенова по теме «Комплексные числа».

1. Понятие о числе развивалось долгие века. Находя способы решения ранее неразрешимых задач, человечество открывало новые законы и выдвигало новые теории. Таким образом возникновение и развитие теории комплексных чисел было вполне естественным и закономерным.

2. В школьную программу 1917-1932 г.г. изучение самих комплексных чисел и идея расширения числа не включались. Школьников знакомили только с понятием мнимых чисел. В 1933-1967 программа дополнилась некоторыми понятиями, связанными с комплексными числами и давалось их геометрическое представление. Однако при изучении данной темы не было никаких практических приложений и связи с реальной жизнью. В 1967 г. тема «Комплексные числа» была исключена из курса средней школы и попала в раздел «Дополнительные главы и вопросы математики», где излагалась уже в более широком объеме, но ее изучение предлагалось только на факультативных курсах.

3. Тема «Комплексные числа» в настоящее время исключена из обязательной программы. Однако авторы учебников для старших профильных классов по алгебре и началам математического анализа включают данную тему в свои учебники.

4. При построении занятий со старшеклассниками необходимо учитывать их психолого-педагогические возможности и потребности: развивать логическое мышление, которое учит внимательности, аккуратности, умению абстрагироваться от конкретного содержания; подбирать задания, способствующие проявлению самостоятельности и творческих способностей учащихся; создавать возможности для углубления и совершенствования знаний в направлении выбранной ими профессии; подкреплять все новые понятия историческими сведениями для дальнейшего развития математической культуры.

5. При изучении темы «Комплексные числа» в силу особенностей старшего школьного возраста у учителя и учеников существуют как проблемы, так и положительные моменты. Самые большие сложности вызывает «мнимая единица» - к старшим классам у многих школьников плохо развито абстрактное мышление. Ученикам очень сложно представить себе «мнимую, воображаемую» единицу, понять различия между координатной и комплексной плоскостью. Но с методической точки зрения тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.

6. Обзор учебников по алгебре и началам математического анализа, содержащих тему «Комплексные числа» показал, что авторы стремились и стремятся дать в достаточном объеме представление о расширении понятия числа, о комплексных числах, действиях нам ними, их геометрическое истолкование и практическое применение. В учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа» для 10-ых классов профильного уровня тема «Комплексные числа» указана как обязательная для изучения и излагается удачным, на наш взгляд, образом, раскрывая все необходимые для выпускника факты и правила.