Обзор учебников по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов, содержащих тему «Комплексные числа»

В данном учебнике каждый параграф темы «Комплексные числа» изложен кратко и содержит минимум информации по теме, также содержит несколько несложных примеров и небольшое количество упражнений. Некоторые сведения, которые другие авторы в своих учебниках вводят как обязательные, в данном учебнике находятся в параграфах, отмеченных звездочкой, например, формула Муавра, умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, а также основная теорема алгебры. Упражнений по теме «Комплексные числа» в учебнике мало и они, в основном, не сложные для выполнения, хотя присутствует несколько задач повышенной трудности.

В учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа», профильный уровень, 10 класс тема «Комплексные числа» вводится во втором полугодии 10 класса сразу после изучения тем «Действительные числа» и «Тригонометрия». Такое размещение не случайно: и числовая окружность, и формулы тригонометрии находят активное применение при изучении тригонометрической формы комплексного числа, формулы Муавра, при извлечении из комплексного числа квадратного и кубического корней. Тема «Комплексные числа» представлена в 6-ой главе и разбита на 5 параграфов: комплексные числа и арифметические операции над ними; комплексные числа и координатная плоскость; тригонометрическая форма записи комплексного числа; комплексные числа и квадратные уравнения; возведение комплексного числа в степень, извлечение кубического корня из комплексного числа.

Понятие комплексного числа вводится как расширение понятия о числе и невозможности выполнения некоторых действий в действительных числах. В учебнике представлена таблица с основными числовыми множествами и операциями, допустимыми в них. Перечисляются минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа, и затем вводится понятие мнимой единицы, определение комплексного числа, равенство комплексных чисел, их сумма, разность, произведение и частное.

От геометрической модели множества действительных чисел переходят к геометрической модели множества комплексных чисел. Рассмотрение темы «Тригонометрическая форма записи комплексного числа» начинается с определения и свойств модуля комплексного числа. Далее рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа, определение аргумента комплексного числа и стандартная тригонометрическая форма комплексного числа.

Далее изучается извлечение квадратного корня из комплексного числа, решение квадратных уравнений. И в последнем параграфе вводится формула Муавра и выводится алгоритм извлечения кубического корня из комплексного числа.

Также в рассматриваемом учебнике в каждом параграфе параллельно с теоретической частью рассматривается несколько примеров, иллюстрирующих теорию и дающих более осмысленное восприятие темы. Приведены краткие исторические факты.

Отдельным издание выпущен задачник, в котором к каждому параграфу темы «Комплексные числа» приводятся задания трех разных уровней – легкие, средние и задания повышенной трудности.

В учебнике М.И. Башмакова, Б.М. Беккер, В.М. Голохового «Задачи по математике. Алгебра и анализ» последняя глава посвящена теме «Комплексные числа». Отметим сразу, что данная книга представляет собой не просто сборник задач. Задачи объединяются в циклы, которые начинаются с рассмотрения конкретных примеров, простых вопросов, постепенно переходя к более общим и трудным вопросам. Перед текстом отдельных задач, а также в начале параграфов помещен небольшой теоретический вводный текст, где сообщаются необходимые сведения: формулы, определения новых понятий и т.п. Таким образом изучение материала по данной книге можно проводить самостоятельно, а также задачник можно использовать независимо от того или иного учебного пособия. В конце книги ко всем задачам даны краткие указания, а к наиболее трудным, отмеченным звездочкой, задачам даны решения. Тема «Комплексные числа» разбита на три параграфа: «Действия над комплексными числами», «Комплексная плоскость», «Корни многочленов». Комплексные числа вводятся как расширение множества вещественных чисел. В первом параграфе «Действия над комплексными числами» рассматриваются следующие операции над комплексными числами: сложение комплексных чисел, нахождение обратного числа, комплексно -сопряженного, извлечение квадратного корня из комплексного числа. В параграфе «Комплексная плоскость» вводится понятие комплексной плоскости; определение модуля и аргумента комплексного числа; тригонометрическая форма записи комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра; равенство комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; кубический корень из единицы; разложение по формуле Бинома Ньютона. В последнем параграфе «Корни многочленов» вводится основная теорема алгебры, приводится разложение многочлена на линейные множители с комплексными коэффициентами, рассматривается вопрос о кратности корня. Объем предлагаемого для изучения материала достаточно велик, изложен очень кратко и для каждого понятия количество заданий небольшое. Но в целом учебник дает достаточное полное представление о комплексных числах, их применении и значении в математике.