Заметим, что описанный способ может быть применен и при решении примеров 1 и 2.
Пример 4. Составить многочлен с целыми коэффициентами, один из корней которого Ö2 + ÖЗ.
Решение: х0 = Ö2 + Ö3. Тогда
. Искомый многочлен: х4 — 10х2 + 1.
Решение примеров 2 и 3 может служить мотивом и для доказательства интересного утверждения: если aÎN, bÎN, то число
3Öa + 3Öb может быть либо целым, либо иррациональным.
Действительно, 3Öa + 3Öb является корнем приведенного многочлена (х3 — (a+b))3 — 27abx3. Это приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Он не может иметь других рациональных корней, кроме целых. Следовательно, если его корень xо = 3Öa + 3Öb не является целым, то он иррационален.
Пример 5. Доказать, что 3Ö23 + 3Ö123 — иррациональное число.
Доказательство. Рассмотрим неравенства
2,5 < 3Ö23 < 3,
4,5 < 3Ö123 < 5,
7 < 3Ö23 + 3Ö123 < 8,
т. е. число 3Ö23 + 3Ö123 не является целым, а следовательно, оно иррационально.
При изучении темы «Многочлены» учащиеся производят деление многочлена на многочлен. Умение производить такое деление может в последующем облегчить решение многих задач: нахождение асимптот, вычисление производных, интегралов и т. д.
Пример 6. Найти наклонную асимптоту графика функции
Решение. Произведя деление многочленов, получим:
х3 - 3х + 1 = х - 1 +
Так как
, то наклонной асимптотой является прямая у = х — 1.
(Решения такого типа используют в школах с углубленным изучением математики или лицеях)
Пример 7. Найти промежутки выпуклости графика функции
Решение. Деление многочлена 2х2 — 3х + 1 на многочлен х — 2 качественно облегчит нахождение второй производной:
Теперь легко находим:
y' = 2-
, у" =
Следовательно, на промежутке (2; + ¥) график функции обращен выпуклостью вниз, а на промежутке (- ¥; 2) — выпуклостью вверх.
Преподавание таким образом станет интереснее, продуктивнее и будет соответствовать принципу интенсификации всего учебного процесса в школе.
Место,
значение, содержание легкоатлетических упражнений в структуре физического
воспитания учащихся начальных классов
Общей нормативной и программной основой системы физического воспитания и самовоспитания различных слоев населения является Государственный физкультурно-оздоровительный комплекс. Комплекс включает в себя восемь ступеней. Три ступени разработаны для учащихся общеобразовательных школ. Первая ступень: ...
Педагогические основы художественного воспитания в кружке изобразительного искусства
В соответствии с законом Российской федерации "Об образовании" видоизменяется система внешкольной работы, в том числе внешкольного воспитания, привлекается внимание к дополнительному образованию - в сфере досуга, что немаловажно для развития личности ребенка. Система внешкольного воспитан ...
Психологические особенности полового развития мальчиков и девочек
Проблема полового развития мальчиков и девочек рассматривается различными науками: генетика, биология, физиология, анатомия, медицина, психология, педагогика. Так, аргументом, обосновавшим данного феномена, является медицинский аспект. Одним из основных половых различий мальчиков и девочек определя ...
Современное общество заинтересовано сохранить и улучшить здоровье человека. Эта проблема является одной из главных.