Заметим, что описанный способ может быть применен и при решении примеров 1 и 2.
Пример 4. Составить многочлен с целыми коэффициентами, один из корней которого Ö2 + ÖЗ.
Решение: х0 = Ö2 + Ö3. Тогда . Искомый многочлен: х4 — 10х2 + 1.
Решение примеров 2 и 3 может служить мотивом и для доказательства интересного утверждения: если aÎN, bÎN, то число
3Öa + 3Öb может быть либо целым, либо иррациональным.
Действительно, 3Öa + 3Öb является корнем приведенного многочлена (х3 — (a+b))3 — 27abx3. Это приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Он не может иметь других рациональных корней, кроме целых. Следовательно, если его корень xо = 3Öa + 3Öb не является целым, то он иррационален.
Пример 5. Доказать, что 3Ö23 + 3Ö123 — иррациональное число.
Доказательство. Рассмотрим неравенства
2,5 < 3Ö23 < 3,
4,5 < 3Ö123 < 5,
7 < 3Ö23 + 3Ö123 < 8,
т. е. число 3Ö23 + 3Ö123 не является целым, а следовательно, оно иррационально.
При изучении темы «Многочлены» учащиеся производят деление многочлена на многочлен. Умение производить такое деление может в последующем облегчить решение многих задач: нахождение асимптот, вычисление производных, интегралов и т. д.
Пример 6. Найти наклонную асимптоту графика функции
Решение. Произведя деление многочленов, получим:
х3 - 3х + 1 = х - 1 +
Так как , то наклонной асимптотой является прямая у = х — 1.
(Решения такого типа используют в школах с углубленным изучением математики или лицеях)
Пример 7. Найти промежутки выпуклости графика функции
Решение. Деление многочлена 2х2 — 3х + 1 на многочлен х — 2 качественно облегчит нахождение второй производной:
Теперь легко находим:
y' = 2-, у" =
Следовательно, на промежутке (2; + ¥) график функции обращен выпуклостью вниз, а на промежутке (- ¥; 2) — выпуклостью вверх.
Преподавание таким образом станет интереснее, продуктивнее и будет соответствовать принципу интенсификации всего учебного процесса в школе.
Хакасские пословицы и поговорки как этнокультурное
явление
Современная ситуация в России привела к переоценке духовно-нравственных ценностей в связи с утратой многих традиционных ценностей. В поиске лучших народных традиций воспитания личности целесообразно пересмотреть исторически сложившиеся модели воспитания, одной из оптимальных моделей органично вписы ...
Понятие технологического образования
Основы современного технологического образования лежат в трудовом обучении, история становления и развития которого неразрывно связана с основными вехами научно-технического прогресса, накоплением технологических знаний о свойствах объектов, способах и формах организации трудовой деятельности, сред ...
Классификация ошибок, допущенных при работе над сочинением и изложением
В устной и письменной речи учащихся встречается много ошибок, которые в методике обучения русскому языку называют речевыми. К определению «речевая ошибка» ученые подходят по-разному. В работах М.Р. Львова под речевой ошибкой понимается «неудачно выбранное слово, неправильно построенное предложение, ...
Современное общество заинтересовано сохранить и улучшить здоровье человека. Эта проблема является одной из главных.