Роль понятийного аппарата во внутрипредметных связях

Остановимся в связи с этим на теме «Действительные числа». Хотя данная тема служит основой изучения вопросов математического анализа, она, слабо усваивается учащимися. В первую очередь отметим, что школьники не видят связей между понятием действительного числа и понятиями математического анализа, изучаемыми в школьном курсе. Одна из причин — выведение понятия действительного числа из задачи об извлечении корня.

Это задача курса алгебры, а не математического анализа. Вопрос об извлечении корня не является главным в данном случае. Его целесообразно использовать лишь для мотивировки введения новых чисел — иррациональных.

Действительно, после того как будет доказано, что нет рационального числа, квадрат которого равен 2, учащимся можно предложить задачу: «Постройте квадрат ABCD со стороной 1 и на диагонали АС этого квадрата постройте другой квадрат (рис.5). Чему равна площадь получившегося квадрата АСКМ?»

Так как SABCD = 1 ед.2, то SACD= ед.2.

Так как DACD = DCDK= DKDM= DADM, то Sackm = Sacd + ScDk + SKdm + + Sadm= =2 ед.2. Если сторону квадрата АСКМ (диагональ АС) обозначить через х, то получим х2=2. Но раз мы реально имеем квадрат площадью 2 ед.2, то должно существовать и число, квадрат которого равен 2.

Для математического анализа ведущим является расширение множества рациональных чисел до множества действительных чисел, которое является непрерывным (вместе с этим решается вопрос и об извлечении корня из положительного числа). Главенствующее значение действительных чисел в курсе математического анализа как раз и состоит в том, что они способны выразить непрерывное изменение величины. (В случае доминанты задачи об извлечении корня этот вопрос остается скрытым.)

Таким образом, отработка понятия действительного числа и понятия непрерывной величины — это две стороны одного и того же процесса. Так как наглядной иллюстрацией непрерывного процесса служит движение точки по прямой, то в основе формирования понятия действительного числа должно быть, в первую очередь, понятие прямой, совокупность точек которой такова же по своей структуре, как и множество действительных чисел. Рассматривая так действительные числа, можно осуществить преемственность данной темы с такими вопросами анализа, как предел, непрерывность, производная, интеграл и т. д.

Важным требованием к определению понятия является его согласование с естественно-интуитивным представлением о нем. Не может, например, считаться целесообразным определение целого числа через класс пар натуральных чисел, ибо оно не сформирует у учащихся тех умений и навыков, которыми они должны владеть для проведения числовых и алгебраических преобразований. Это же следует сказать и о таких определениях: определение натурального числа как класса эквивалентных множеств; определение рационального, числа как класса пар целых чисел; определение вектора как параллельного переноса; определение функции как множества пар с различными первыми компонентами. Несоответствие между интуитивным представлением о понятии вектора и его формальным определением можно преодолеть за счет введения понятия вектора через направленный отрезок, а функции через физический прототип — переменную величину.

Введение понятий в школьный курс должно строиться на основе разумного сочетания двух аспектов: исторического и логического.