Роль понятийного аппарата во внутрипредметных связях

Одной из основных задач обучения является развитие целенаправленного мышления. Развитие же мышления предполагает формирование различных понятий, в том числе и математических, так как они выступают в качестве основной формы мышления. Понятия не могут существовать в отдельности друг от друга, они взаимообусловлены, взаимосвязаны. Существование каждого понятия было бы невозможно без определенных отношений к другим. Некоторые понятия вообще не могут существовать вне этих отношений. Так, например, понятия радиус, хорда, диаметр, вписанный угол и т. д. не мыслимы без соотнесения их с понятием окружности.

В учебном курсе понятия могут играть разную роль: одни из них являются общими, с широким спектром приложений, другие же играют функцию подчиненную. Учитель должен уметь выделять общие, ведущие понятия курса. Ведущими понятиями будем считать те, которые удовлетворяют следующим критериям: они должны формировать научное мировоззрение; значительно чаще других понятий служить средством изучения различных вопросов математики; активно работать на протяжении большого промежутка времени; способствовать наиболее полной реализации внутрипредметных связей, а, в конечном счете, и межпредметных; иметь прикладную и практическую направленность. Примерами таких ведущих понятий могут служить: число, величина, фигура, функция, график, уравнение, неравенство, равносильность, алгоритм и т. д.

Выделив ведущие понятия, учитель должен затем проследить их развитие во всем курсе школьной математики, тем самым определить его содержательно-методические линии, которые обеспечивают курсу необходимую систематичность и последовательность, отражают идейную сторону математики и являются важнейшим средством обеспечения преемственности всего изучаемого материала.

Перечислим основные содержательно-методические линии школьного курса алгебры: числовая, алгоритмическая, функциональная, линия уравнений и неравенств.

Реализация внутрипредметных связей вовсе не должна означать установление искусственных связей; наряду со связями, играющими положительную роль в процессе обучения, имеют место и связи отрицательного действия. Задача учителя — суметь в каждом конкретном случае отчленить одни связи от других и исключить связи отрицательного воздействия. Приведем примеры связей отрицательного действия.

1. Учащиеся, используя основное свойство дроби, ошибочно преобразуют дробь к следующему виду: или .

Ошибки получены в результате сокращения дроби не на множитель, как того требует основное свойство дроби, а на слагаемое.

2. При введении понятия иррационального числа многие учителя иллюстрируют это понятие лишь такими примерами: ; - и т. д. Это приводит к тому, что затем на вопрос: «Приведите примеры иррациональных чисел» — учащиеся отвечают лишь подобными примерами, тем самым происходит сужение объема понятия иррационального числа. Этого не произошло, если бы народу с приведенными выше примерами учитель показал и иррациональное число 0,001 00001 . (используется связь с бесконечными непериодическими десятичными дробями)

Значительная часть приведенных ошибок возникла в результате следующих причин. Это большая прочность ранее образованных связей по сравнению с позже возникающими; стремление учащихся к автоматическому применению теории без достаточного анализа возможности ее применения; доминирование ассоциативных связей над смысловыми, склонность действовать по стереотипу.

Отрицательные связи, устанавливаемые учениками, можно предвидеть и вести работу, которая могла бы их предотвратить. Так, например, большое число решенных задач по разложению на множители трехчленов вида x2+px + q не облегчает, а скорее затрудняет формирование навыка разложения на множители трехчленов вида ах2+bх+с (учащиеся записывают ошибочный ответ в виде (х — х1)(х — х2), опуская множитель а). Поэтому выполнение упражнений по разложению на множители трехчленов первого вида не должно быть длительным. Преподавание должно вестись по способу чередования разнотипных задач.

Одни и те же понятия могут быть определены на основе разных исходных посылок, различными способами. Все эти определения могут оказаться равноценными, но они будут иметь существенную разницу в достигнутых результатах обучения, в частности будет различной полнота внутрипредметных связей. Задача состоит в том, чтобы отыскать такой вариант, при котором эти результаты обучения будут наилучшими. Важно разъяснять учащимся реальный смысл понятий, показывать, отражением каких сторон действительности они являются.